PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada abad ke-18 Masehi, G.W. Leibniz, seorang ahli
matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli
matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah
George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.
Secara etimologis, logika berasal
dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau
bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika
adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang
sahih (tidak valid). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik
kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar
itu biasanya disebut dengan penalaran.
Melalui logika kita dapat mengetahui
kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan
pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan
“Jika sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan
“Jika sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab
pertanyaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh
lain, misalkan ada dua pernyataan “Jika anak pandai maka ia berprestasi di
kelas. Jika ia berprestasi di kelas maka ia disayangi guru-gurunya.” Lalu,
apakah dari dua pernyataan ini kita dapat menyimpulkan “Jika ia anak pandai
maka ia disayangi guru-gurunya.”?
Hal terpenting yang akan didapatkan
setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi
sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
Rumusan Masalah
1.
Konsep dan Notasi Dasar
2.
Proposisi dan Tabel Kebenaran
3.
Tautologi dan Kontradiksi
4.
Ekivalen Logika
5.
Aljabar proposisi
6.
Implikasi logika
7.
Fungsi Proposisi dan Himpunan
Kebenaran
8.
Pengukur Jumlah Universal
9.
Negasi Ingkaran
10.
Contoh Balasan
PEMBAHASAN
1.
Konsep dan Notasi Dasar
Di
dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat
yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat
tersebut dinamakan proposisi (preposition). Proposisi adalah kalimat
deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false),
tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah
kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). Contoh berikut ini
dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
a)
6
adalah bilangan genap
b)
Soekarno
adalah Presiden Indonesia yang pertama
c)
2
+ 2 = 4
d)
Ibukota
Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e)
12
≥ 19
f)
Kemarin
hari hujan
g)
Suhu
di permukaan laut adalah 21 derajat celcius
h)
Pemuda
itu tinggi
i)
Kehidupan
hanya ada di Planet Bumi
Semuanya
merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah
karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah
karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung
ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi
tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai
proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan
benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan).
Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau
salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan
kebenarannya.
2.
Tabel kebenaran
|
p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat
selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing
proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan
nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk
disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus,
sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk
semua kasus. Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas
adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi
tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya
memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom
terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.
3.
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah
Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk
membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum
Ekuivalensi Logika.
Kontradiksi
adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya
mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang
salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari
komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut
kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka
disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
4.
Ekivalen Logika
Dua
atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut
ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang
sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
komponen-komponennya.
5.
Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling
ekuivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya.
Dibawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,
1. Hukum Idempoten (Idem)
a. p∨q ek
p
b. p∧p ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
6.
Implikasi
Logika
Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,…)
adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini adalah ekuivalen.
1.
~P(p,q,…) Ú Q(p,q,…) adalah tautologi.
2.
P(p,q,…) Ù Q(p,q,…) adalah kontradiksi
3.
P(p,q,…) → Q(p,q,…) adalah tautology
Suatu proposisi P(p,q,…) disebut
implikasi logic ke proposisi Q(p,q,…) dinyatakan dengan:
P(p,q,…) → Q(p,q,…)
Bila satu dari ketiga kondisi di
atas berlaku.
7. Fungsi Proposisi dan Himpunan
Kebenaran
Misalkan
P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah
himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi
(dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
8. Pengukur Jumlah Universal
Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut
pernyataan berkuantor universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor
universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor
universal.
a. Semua kuda berlari cepat.
b. Setiap bilangan asli lebih besar
daripada nol.\
Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan
cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti
pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka
menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat
terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan
penyelesaian dari p(x)
9. Negasi Ingkaran
Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan
yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran
yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
PENUTUP
Kesimpulan
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’
yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu
pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji
penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).
Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu
kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika,
yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi,
implikasi dan biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat
dibentuk implikasi lain, yaitu konvers, invers dan kontraposisi. Metode atau
cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus
tollens dan silogisme
Referensi
